$$$\frac{1}{f \left(2 a - x\right)}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{f \left(2 a - x\right)}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{f}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{2 a - x}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{f \left(2 a - x\right)} d x}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{1}{2 a - x} d x}}{f}}}$$

令 $$$u=2 a - x$$$。

則 $$$du=\left(2 a - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。

所以，

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 a - x} d x}}}}{f} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}}{f}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}}{f} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}}{f}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{f} = - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{f}$$

回顧一下 $$$u=2 a - x$$$：

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{f} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 a - x\right)}}}\right| \right)}}{f}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{f \left(2 a - x\right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{2 a - x}\right| \right)}}{f}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{f \left(2 a - x\right)} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{2 a - x}\right| \right)}}{f}+C$$

$$$\int \frac{1}{f \left(2 a - x\right)}\, dx = - \frac{\ln\left(\left|{2 a - x}\right|\right)}{f} + C$$$A