$$$e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- t} \cos{\left(t \right)}\, dt$$$。

對於積分 $$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\cos{\left(t \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=- \sin{\left(t \right)} dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(t \right)} \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot \left(- \sin{\left(t \right)}\right) d t}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\sin{\left(t \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(t \right)}\right)^{\prime }dt=\cos{\left(t \right)} dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$$- {\color{red}{\int{e^{- t} \sin{\left(t \right)} d t}}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}=- {\color{red}{\left(\sin{\left(t \right)} \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot \cos{\left(t \right)} d t}\right)}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}=- {\color{red}{\left(- \int{\left(- e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)d t} - e^{- t} \sin{\left(t \right)}\right)}} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{- t} \cos{\left(t \right)}\right)d t}}} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)} = {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t}\right)}} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

我們得到了先前見過的一個積分。

因此，我們得到關於該積分的如下簡單等式：

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} + e^{- t} \sin{\left(t \right)} - e^{- t} \cos{\left(t \right)}$$

求解後，可得

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}}{2}$$

因此，

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = \frac{\left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}}{2}$$

化簡：

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- t} \cos{\left(t \right)} d t} = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- t} \cos{\left(t \right)}\, dt = - \frac{\sqrt{2} e^{- t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A