$$$e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}\, dw$$$。

對於積分 $$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\sin{\left(2 w \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- 6 w} dw$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(2 w \right)}\right)^{\prime }dw=2 \cos{\left(2 w \right)} dw$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 6 w} d w}=- \frac{e^{- 6 w}}{6}$$$（步驟見 »）。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(2 w \right)} \cdot \left(- \frac{e^{- 6 w}}{6}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 6 w}}{6}\right) \cdot 2 \cos{\left(2 w \right)} d w}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{\left(- \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{3}\right)d w} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(w \right)} = e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{3}\right)d w}}} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6} = - {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)} d w}}{3}\right)}} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}$$

對於積分 $$$\int{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)} d w}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\cos{\left(2 w \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- 6 w} dw$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(2 w \right)}\right)^{\prime }dw=- 2 \sin{\left(2 w \right)} dw$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 6 w} d w}=- \frac{e^{- 6 w}}{6}$$$（步驟見 »）。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)} d w}}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}=\frac{{\color{red}{\left(\cos{\left(2 w \right)} \cdot \left(- \frac{e^{- 6 w}}{6}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 6 w}}{6}\right) \cdot \left(- 2 \sin{\left(2 w \right)}\right) d w}\right)}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}=\frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{3} d w} - \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{6}\right)}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(w \right)} = e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{3} d w}}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6} - \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{18} = - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w}}{3}\right)}}}{3} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6} - \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{18}$$

我們得到了先前見過的一個積分。

因此，我們得到關於該積分的如下簡單等式：

$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w} = - \frac{\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w}}{9} - \frac{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}}{6} - \frac{e^{- 6 w} \cos{\left(2 w \right)}}{18}$$

求解後，可得

$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w} = \frac{\left(- 3 \sin{\left(2 w \right)} - \cos{\left(2 w \right)}\right) e^{- 6 w}}{20}$$

因此，

$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w} = \frac{\left(- 3 \sin{\left(2 w \right)} - \cos{\left(2 w \right)}\right) e^{- 6 w}}{20}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)} d w} = \frac{\left(- 3 \sin{\left(2 w \right)} - \cos{\left(2 w \right)}\right) e^{- 6 w}}{20}+C$$

$$$\int e^{- 6 w} \sin{\left(2 w \right)}\, dw = \frac{\left(- 3 \sin{\left(2 w \right)} - \cos{\left(2 w \right)}\right) e^{- 6 w}}{20} + C$$$A