$$$\frac{1}{8 x - 3}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{8 x - 3}\, dx$$$。

令 $$$u=8 x - 3$$$。

則 $$$du=\left(8 x - 3\right)^{\prime }dx = 8 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{8}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{1}{8 x - 3} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{8 u} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{8}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{8 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{8}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{8} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{8}$$

回顧一下 $$$u=8 x - 3$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{8} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(8 x - 3\right)}}}\right| \right)}}{8}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{8 x - 3} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{8 x - 3}\right| \right)}}{8}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{8 x - 3} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{8 x - 3}\right| \right)}}{8}+C$$

$$$\int \frac{1}{8 x - 3}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{8 x - 3}\right|\right)}{8} + C$$$A