$$$\frac{d f}{x}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \frac{d f}{x}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=d f$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{d f}{x} d x}}} = {\color{red}{d f \int{\frac{1}{x} d x}}}$$

$$$\frac{1}{x}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$：

$$d f {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = d f {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{d f}{x} d x} = d f \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{d f}{x} d x} = d f \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{d f}{x}\, dx = d f \ln\left(\left|{x}\right|\right) + C$$$A