$$$\left(d + e x\right)^{7}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \left(d + e x\right)^{7}\, dx$$$。

令 $$$u=d + e x$$$。

則 $$$du=\left(d + e x\right)^{\prime }dx = e dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{e}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\left(d + e x\right)^{7} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{7}}{e} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=e^{-1}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u^{7}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{u^{7}}{e} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{u^{7} d u}}{e}}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=7$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{7} d u}}}}{e}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 7}}{1 + 7}}}}{e}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{8}}{8}\right)}}}{e}$$

回顧一下 $$$u=d + e x$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}^{8}}{8 e} = \frac{{\color{red}{\left(d + e x\right)}}^{8}}{8 e}$$

因此，

$$\int{\left(d + e x\right)^{7} d x} = \frac{\left(d + e x\right)^{8}}{8 e}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(d + e x\right)^{7} d x} = \frac{\left(d + e x\right)^{8}}{8 e}+C$$

$$$\int \left(d + e x\right)^{7}\, dx = \frac{\left(d + e x\right)^{8}}{8 e} + C$$$A