$$$\cot^{2}{\left(2 x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \cot^{2}{\left(2 x \right)}\, dx$$$。

令 $$$u=2 x$$$。

則 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cot^{2}{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cot^{2}{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\cot^{2}{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

令 $$$v=\cot{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dv=\left(\cot{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \csc^{2}{\left(u \right)} du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\csc^{2}{\left(u \right)} du = - dv$$$。

所以，

$$\frac{{\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}\right)}}}{2}$$

重寫並拆分分式:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}}{2}$$

逐項積分：

$$- \frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}}{2}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dv = c v$$$：

$$\frac{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2} = \frac{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}{2} - \frac{{\color{red}{v}}}{2}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$：

$$- \frac{v}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}}}{2} = - \frac{v}{2} + \frac{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$v=\cot{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{\operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{v}}}{2} = \frac{\operatorname{atan}{\left({\color{red}{\cot{\left(u \right)}}} \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\cot{\left(u \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x$$$：

$$- \frac{\cot{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)}}{2} = - \frac{\cot{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\cot^{2}{\left(2 x \right)} d x} = - \frac{\cot{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\cot{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$$

化簡：

$$\int{\cot^{2}{\left(2 x \right)} d x} = \frac{- \cot{\left(2 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$$

加上積分常數：

$$\int{\cot^{2}{\left(2 x \right)} d x} = \frac{- \cot{\left(2 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(2 x \right)} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \cot^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{- \cot{\left(2 x \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(2 x \right)} \right)}}{2} + C$$$A