$$$4 \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}}$$$ 的積分
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求$$$\int \left(4 \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(4 \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{3}{x^{2}} d x} + \int{4 \sqrt{x} d x}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2}}$$$：
$$\int{4 \sqrt{x} d x} - {\color{red}{\int{\frac{3}{x^{2}} d x}}} = \int{4 \sqrt{x} d x} - {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{x^{2}} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-2$$$：
$$\int{4 \sqrt{x} d x} - 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2}} d x}}}=\int{4 \sqrt{x} d x} - 3 {\color{red}{\int{x^{-2} d x}}}=\int{4 \sqrt{x} d x} - 3 {\color{red}{\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}=\int{4 \sqrt{x} d x} - 3 {\color{red}{\left(- x^{-1}\right)}}=\int{4 \sqrt{x} d x} - 3 {\color{red}{\left(- \frac{1}{x}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$：
$${\color{red}{\int{4 \sqrt{x} d x}}} + \frac{3}{x} = {\color{red}{\left(4 \int{\sqrt{x} d x}\right)}} + \frac{3}{x}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{1}{2}$$$：
$$4 {\color{red}{\int{\sqrt{x} d x}}} + \frac{3}{x}=4 {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{2}} d x}}} + \frac{3}{x}=4 {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}} + \frac{3}{x}=4 {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}} + \frac{3}{x}$$
因此，
$$\int{\left(4 \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}}\right)d x} = \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{x}$$
化簡：
$$\int{\left(4 \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}}\right)d x} = \frac{8 x^{\frac{5}{2}} + 9}{3 x}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(4 \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}}\right)d x} = \frac{8 x^{\frac{5}{2}} + 9}{3 x}+C$$
答案
$$$\int \left(4 \sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}}\right)\, dx = \frac{8 x^{\frac{5}{2}} + 9}{3 x} + C$$$A