$$$\left(3 x - 4\right)^{5}$$$ 的積分

求$$$\int \left(3 x - 4\right)^{5}\, dx$$$。

令 $$$u=3 x - 4$$$。

則 $$$du=\left(3 x - 4\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{3}$$$。

該積分變為

$${\color{red}{\int{\left(3 x - 4\right)^{5} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{5}}{3} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{3}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u^{5}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{u^{5}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u^{5} d u}}{3}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=5$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{5} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 5}}{1 + 5}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{6}}{6}\right)}}}{3}$$

回顧一下 $$$u=3 x - 4$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}^{6}}{18} = \frac{{\color{red}{\left(3 x - 4\right)}}^{6}}{18}$$

因此，

$$\int{\left(3 x - 4\right)^{5} d x} = \frac{\left(3 x - 4\right)^{6}}{18}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(3 x - 4\right)^{5} d x} = \frac{\left(3 x - 4\right)^{6}}{18}+C$$

$$$\int \left(3 x - 4\right)^{5}\, dx = \frac{\left(3 x - 4\right)^{6}}{18} + C$$$A