$$$- 5 x^{9} + 3 x^{5}$$$ 的積分
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求$$$\int \left(- 5 x^{9} + 3 x^{5}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- 5 x^{9} + 3 x^{5}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{3 x^{5} d x} - \int{5 x^{9} d x}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=5$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{9}$$$：
$$\int{3 x^{5} d x} - {\color{red}{\int{5 x^{9} d x}}} = \int{3 x^{5} d x} - {\color{red}{\left(5 \int{x^{9} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=9$$$：
$$\int{3 x^{5} d x} - 5 {\color{red}{\int{x^{9} d x}}}=\int{3 x^{5} d x} - 5 {\color{red}{\frac{x^{1 + 9}}{1 + 9}}}=\int{3 x^{5} d x} - 5 {\color{red}{\left(\frac{x^{10}}{10}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=3$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{5}$$$：
$$- \frac{x^{10}}{2} + {\color{red}{\int{3 x^{5} d x}}} = - \frac{x^{10}}{2} + {\color{red}{\left(3 \int{x^{5} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=5$$$：
$$- \frac{x^{10}}{2} + 3 {\color{red}{\int{x^{5} d x}}}=- \frac{x^{10}}{2} + 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 5}}{1 + 5}}}=- \frac{x^{10}}{2} + 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{6}}{6}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(- 5 x^{9} + 3 x^{5}\right)d x} = - \frac{x^{10}}{2} + \frac{x^{6}}{2}$$
化簡：
$$\int{\left(- 5 x^{9} + 3 x^{5}\right)d x} = \frac{x^{6} \left(1 - x^{4}\right)}{2}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- 5 x^{9} + 3 x^{5}\right)d x} = \frac{x^{6} \left(1 - x^{4}\right)}{2}+C$$
答案
$$$\int \left(- 5 x^{9} + 3 x^{5}\right)\, dx = \frac{x^{6} \left(1 - x^{4}\right)}{2} + C$$$A