$$$3 x^{4} e^{x^{5}}$$$ 的積分

求$$$\int 3 x^{4} e^{x^{5}}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{5}$$$。

則 $$$du=\left(x^{5}\right)^{\prime }dx = 5 x^{4} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x^{4} dx = \frac{du}{5}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{3 e^{u}}{5} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{3}{5}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{u}}{5} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$\frac{3 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = \frac{3 {\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

回顧一下 $$$u=x^{5}$$$：

$$\frac{3 e^{{\color{red}{u}}}}{5} = \frac{3 e^{{\color{red}{x^{5}}}}}{5}$$

因此，

$$\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x} = \frac{3 e^{x^{5}}}{5}$$

加上積分常數：

$$\int{3 x^{4} e^{x^{5}} d x} = \frac{3 e^{x^{5}}}{5}+C$$

$$$\int 3 x^{4} e^{x^{5}}\, dx = \frac{3 e^{x^{5}}}{5} + C$$$A