$$$\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{3}$$$。

則 $$$du=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$。

所以，

$${\color{red}{\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}}$$

令 $$$v=\frac{1}{u}$$$。

則 $$$dv=\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime }du = - \frac{1}{u^{2}} du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$\frac{du}{u^{2}} = - dv$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=-1$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- e^{v}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{v} d v}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$$- {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = - {\color{red}{e^{v}}}$$

回顧一下 $$$v=\frac{1}{u}$$$：

$$- e^{{\color{red}{v}}} = - e^{{\color{red}{\frac{1}{u}}}}$$

回顧一下 $$$u=x^{3}$$$：

$$- e^{{\color{red}{u}}^{-1}} = - e^{{\color{red}{x^{3}}}^{-1}}$$

因此，

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x} = - e^{\frac{1}{x^{3}}}+C$$

$$$\int \frac{3 e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}}\, dx = - e^{\frac{1}{x^{3}}} + C$$$A