$$$\frac{2 v}{v - 1}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{2 v}{v - 1}\, dv$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = \frac{v}{v - 1}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{2 v}{v - 1} d v}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{v}{v - 1} d v}\right)}}$$

重寫並拆分分式:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{v}{v - 1} d v}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{1}{v - 1}\right)d v}}}$$

逐項積分：

$$2 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{1}{v - 1}\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d v} + \int{\frac{1}{v - 1} d v}\right)}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dv = c v$$$：

$$2 \int{\frac{1}{v - 1} d v} + 2 {\color{red}{\int{1 d v}}} = 2 \int{\frac{1}{v - 1} d v} + 2 {\color{red}{v}}$$

令 $$$u=v - 1$$$。

則 $$$du=\left(v - 1\right)^{\prime }dv = 1 dv$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dv = du$$$。

所以，

$$2 v + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{v - 1} d v}}} = 2 v + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$2 v + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 2 v + 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

回顧一下 $$$u=v - 1$$$：

$$2 v + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 2 v + 2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(v - 1\right)}}}\right| \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{2 v}{v - 1} d v} = 2 v + 2 \ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}$$

化簡：

$$\int{\frac{2 v}{v - 1} d v} = 2 \left(v + \ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{2 v}{v - 1} d v} = 2 \left(v + \ln{\left(\left|{v - 1}\right| \right)}\right)+C$$

$$$\int \frac{2 v}{v - 1}\, dv = 2 \left(v + \ln\left(\left|{v - 1}\right|\right)\right) + C$$$A