$$$\sqrt{x} \left(2 - x\right)$$$ 的積分

求$$$\int \sqrt{x} \left(2 - x\right)\, dx$$$。

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{\sqrt{x} \left(2 - x\right) d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}\right)d x}}}$$

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(- x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{2 \sqrt{x} d x} - \int{x^{\frac{3}{2}} d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{3}{2}$$$：

$$\int{2 \sqrt{x} d x} - {\color{red}{\int{x^{\frac{3}{2}} d x}}}=\int{2 \sqrt{x} d x} - {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}=\int{2 \sqrt{x} d x} - {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$：

$$- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + {\color{red}{\int{2 \sqrt{x} d x}}} = - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + {\color{red}{\left(2 \int{\sqrt{x} d x}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{1}{2}$$$：

$$- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 {\color{red}{\int{\sqrt{x} d x}}}=- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{2}} d x}}}=- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 2 {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

因此，

$$\int{\sqrt{x} \left(2 - x\right) d x} = - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

化簡：

$$\int{\sqrt{x} \left(2 - x\right) d x} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(10 - 3 x\right)}{15}$$

加上積分常數：

$$\int{\sqrt{x} \left(2 - x\right) d x} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(10 - 3 x\right)}{15}+C$$

$$$\int \sqrt{x} \left(2 - x\right)\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(10 - 3 x\right)}{15} + C$$$A