$$$\left(2 x - 2024\right)^{2}$$$ 的積分

求$$$\int \left(2 x - 2024\right)^{2}\, dx$$$。

令 $$$u=2 x - 2024$$$。

則 $$$du=\left(2 x - 2024\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\left(2 x - 2024\right)^{2} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u^{2} d u}}{2}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{2} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=2 x - 2024$$$：

$$\frac{{\color{red}{u}}^{3}}{6} = \frac{{\color{red}{\left(2 x - 2024\right)}}^{3}}{6}$$

因此，

$$\int{\left(2 x - 2024\right)^{2} d x} = \frac{\left(2 x - 2024\right)^{3}}{6}$$

化簡：

$$\int{\left(2 x - 2024\right)^{2} d x} = \frac{4 \left(x - 1012\right)^{3}}{3}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(2 x - 2024\right)^{2} d x} = \frac{4 \left(x - 1012\right)^{3}}{3}+C$$

$$$\int \left(2 x - 2024\right)^{2}\, dx = \frac{4 \left(x - 1012\right)^{3}}{3} + C$$$A