$$$- 2 x^{5} + 13 x^{2}$$$ 的積分
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求$$$\int \left(- 2 x^{5} + 13 x^{2}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- 2 x^{5} + 13 x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{13 x^{2} d x} - \int{2 x^{5} d x}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{5}$$$：
$$\int{13 x^{2} d x} - {\color{red}{\int{2 x^{5} d x}}} = \int{13 x^{2} d x} - {\color{red}{\left(2 \int{x^{5} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=5$$$：
$$\int{13 x^{2} d x} - 2 {\color{red}{\int{x^{5} d x}}}=\int{13 x^{2} d x} - 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 5}}{1 + 5}}}=\int{13 x^{2} d x} - 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{6}}{6}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=13$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$：
$$- \frac{x^{6}}{3} + {\color{red}{\int{13 x^{2} d x}}} = - \frac{x^{6}}{3} + {\color{red}{\left(13 \int{x^{2} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$- \frac{x^{6}}{3} + 13 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- \frac{x^{6}}{3} + 13 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \frac{x^{6}}{3} + 13 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(- 2 x^{5} + 13 x^{2}\right)d x} = - \frac{x^{6}}{3} + \frac{13 x^{3}}{3}$$
化簡：
$$\int{\left(- 2 x^{5} + 13 x^{2}\right)d x} = \frac{x^{3} \left(13 - x^{3}\right)}{3}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- 2 x^{5} + 13 x^{2}\right)d x} = \frac{x^{3} \left(13 - x^{3}\right)}{3}+C$$
答案
$$$\int \left(- 2 x^{5} + 13 x^{2}\right)\, dx = \frac{x^{3} \left(13 - x^{3}\right)}{3} + C$$$A