$$$\left(10 - 10 x\right) \sin{\left(10 x \right)}$$$ 的積分

求$$$\int \left(10 - 10 x\right) \sin{\left(10 x \right)}\, dx$$$。

簡化被積函數:

$${\color{red}{\int{\left(10 - 10 x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{10 \left(1 - x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=10$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \left(1 - x\right) \sin{\left(10 x \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{10 \left(1 - x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(10 \int{\left(1 - x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{\left(1 - x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=1 - x$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(10 x \right)} dx$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(1 - x\right)^{\prime }dx=- dx$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(10 x \right)} d x}=- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{10}$$$（步驟見 »）。

因此，

$$10 {\color{red}{\int{\left(1 - x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x}}}=10 {\color{red}{\left(\left(1 - x\right) \cdot \left(- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{10}\right)-\int{\left(- \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{10}\right) \cdot \left(-1\right) d x}\right)}}=10 {\color{red}{\left(- \frac{\left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)}}{10} - \int{\frac{\cos{\left(10 x \right)}}{10} d x}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{10}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(10 x \right)}$$$：

$$- \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - 10 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(10 x \right)}}{10} d x}}} = - \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - 10 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(10 x \right)} d x}}{10}\right)}}$$

令 $$$u=10 x$$$。

則 $$$du=\left(10 x\right)^{\prime }dx = 10 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{10}$$$。

該積分變為

$$- \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - {\color{red}{\int{\cos{\left(10 x \right)} d x}}} = - \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{10} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{10}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$：

$$- \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{10} d u}}} = - \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{10}\right)}}$$

餘弦函數的積分為 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$：

$$- \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{10} = - \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{10}$$

回顧一下 $$$u=10 x$$$：

$$- \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{10} = - \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(10 x\right)}} \right)}}{10}$$

因此，

$$\int{\left(10 - 10 x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x} = - \left(1 - x\right) \cos{\left(10 x \right)} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}$$

化簡：

$$\int{\left(10 - 10 x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \cos{\left(10 x \right)} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(10 - 10 x\right) \sin{\left(10 x \right)} d x} = \left(x - 1\right) \cos{\left(10 x \right)} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}+C$$

$$$\int \left(10 - 10 x\right) \sin{\left(10 x \right)}\, dx = \left(\left(x - 1\right) \cos{\left(10 x \right)} - \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}\right) + C$$$A