$$$x \sqrt{1 - x}$$$ 的積分
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求$$$\int x \sqrt{1 - x}\, dx$$$。
解答
令 $$$u=1 - x$$$。
則 $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = - du$$$。
因此，
$${\color{red}{\int{x \sqrt{1 - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{u} \left(u - 1\right) d u}}}$$
Expand the expression:
$${\color{red}{\int{\sqrt{u} \left(u - 1\right) d u}}} = {\color{red}{\int{\left(u^{\frac{3}{2}} - \sqrt{u}\right)d u}}}$$
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(u^{\frac{3}{2}} - \sqrt{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sqrt{u} d u} + \int{u^{\frac{3}{2}} d u}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{3}{2}$$$：
$$- \int{\sqrt{u} d u} + {\color{red}{\int{u^{\frac{3}{2}} d u}}}=- \int{\sqrt{u} d u} + {\color{red}{\frac{u^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}=- \int{\sqrt{u} d u} + {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{1}{2}$$$：
$$\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - {\color{red}{\int{\sqrt{u} d u}}}=\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{2}} d u}}}=\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - {\color{red}{\left(\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$
回顧一下 $$$u=1 - x$$$：
$$- \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{u}}^{\frac{5}{2}}}{5} = - \frac{2 {\color{red}{\left(1 - x\right)}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {\color{red}{\left(1 - x\right)}}^{\frac{5}{2}}}{5}$$
因此，
$$\int{x \sqrt{1 - x} d x} = \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$
化簡：
$$\int{x \sqrt{1 - x} d x} = \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \left(- 3 x - 2\right)}{15}$$
加上積分常數：
$$\int{x \sqrt{1 - x} d x} = \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \left(- 3 x - 2\right)}{15}+C$$
答案
$$$\int x \sqrt{1 - x}\, dx = \frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}} \left(- 3 x - 2\right)}{15} + C$$$A