$$$- 4 x + \frac{1}{x^{3}}$$$ 的積分
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求$$$\int \left(- 4 x + \frac{1}{x^{3}}\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- 4 x + \frac{1}{x^{3}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{x^{3}} d x} - \int{4 x d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=-3$$$：
$$- \int{4 x d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{3}} d x}}}=- \int{4 x d x} + {\color{red}{\int{x^{-3} d x}}}=- \int{4 x d x} + {\color{red}{\frac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}=- \int{4 x d x} + {\color{red}{\left(- \frac{x^{-2}}{2}\right)}}=- \int{4 x d x} + {\color{red}{\left(- \frac{1}{2 x^{2}}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=4$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：
$$- {\color{red}{\int{4 x d x}}} - \frac{1}{2 x^{2}} = - {\color{red}{\left(4 \int{x d x}\right)}} - \frac{1}{2 x^{2}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$- 4 {\color{red}{\int{x d x}}} - \frac{1}{2 x^{2}}=- 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}} - \frac{1}{2 x^{2}}=- 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}} - \frac{1}{2 x^{2}}$$
因此，
$$\int{\left(- 4 x + \frac{1}{x^{3}}\right)d x} = - 2 x^{2} - \frac{1}{2 x^{2}}$$
化簡：
$$\int{\left(- 4 x + \frac{1}{x^{3}}\right)d x} = \frac{- 4 x^{4} - 1}{2 x^{2}}$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- 4 x + \frac{1}{x^{3}}\right)d x} = \frac{- 4 x^{4} - 1}{2 x^{2}}+C$$
答案
$$$\int \left(- 4 x + \frac{1}{x^{3}}\right)\, dx = \frac{- 4 x^{4} - 1}{2 x^{2}} + C$$$A