$$$\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}\, dx$$$。
解答
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{5}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(5 x \right)} d x}}{5}\right)}}$$
令 $$$u=5 x$$$。
則 $$$du=\left(5 x\right)^{\prime }dx = 5 dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{5}$$$。
該積分可改寫為
$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(5 x \right)} d x}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{5} d u}}}}{5}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{5}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{5} d u}}}}{5} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{5}\right)}}}{5}$$
正弦函數的積分為 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$：
$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{25} = \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{25}$$
回顧一下 $$$u=5 x$$$：
$$- \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{25} = - \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(5 x\right)}} \right)}}{25}$$
因此，
$$\int{\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5} d x} = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5} d x} = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}+C$$
答案
$$$\int \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}\, dx = - \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25} + C$$$A