$$$\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}$$$ 的積分

求$$$\int \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}\, dx$$$。

令 $$$u=\frac{x}{8} - 2$$$。

則 $$$du=\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{8}$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = 8 du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x}}} = {\color{red}{\int{8 u^{3} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=8$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$：

$${\color{red}{\int{8 u^{3} d u}}} = {\color{red}{\left(8 \int{u^{3} d u}\right)}}$$

套用冪次法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=3$$$：

$$8 {\color{red}{\int{u^{3} d u}}}=8 {\color{red}{\frac{u^{1 + 3}}{1 + 3}}}=8 {\color{red}{\left(\frac{u^{4}}{4}\right)}}$$

回顧一下 $$$u=\frac{x}{8} - 2$$$：

$$2 {\color{red}{u}}^{4} = 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{8} - 2\right)}}^{4}$$

因此，

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = 2 \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{4}$$

化簡：

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048}$$

加上積分常數：

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048}+C$$

$$$\int \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}\, dx = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048} + C$$$A