$$$\sqrt{x} \left(x - 1\right)$$$ 的積分
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求$$$\int \sqrt{x} \left(x - 1\right)\, dx$$$。
解答
Expand the expression:
$${\color{red}{\int{\sqrt{x} \left(x - 1\right) d x}}} = {\color{red}{\int{\left(x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}\right)d x}}}$$
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\sqrt{x} d x} + \int{x^{\frac{3}{2}} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{3}{2}$$$：
$$- \int{\sqrt{x} d x} + {\color{red}{\int{x^{\frac{3}{2}} d x}}}=- \int{\sqrt{x} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{3}{2}}}{1 + \frac{3}{2}}}}=- \int{\sqrt{x} d x} + {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{1}{2}$$$：
$$\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - {\color{red}{\int{\sqrt{x} d x}}}=\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{2}} d x}}}=\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{\sqrt{x} \left(x - 1\right) d x} = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$$
化簡：
$$\int{\sqrt{x} \left(x - 1\right) d x} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 5\right)}{15}$$
加上積分常數：
$$\int{\sqrt{x} \left(x - 1\right) d x} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 5\right)}{15}+C$$
答案
$$$\int \sqrt{x} \left(x - 1\right)\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 5\right)}{15} + C$$$A