$$$x \ln\left(\sqrt{x}\right)$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \frac{x \ln\left(x\right)}{2}\, dx$$$。
解答
已將輸入重寫為：$$$\int{x \ln{\left(\sqrt{x} \right)} d x}=\int{\frac{x \ln{\left(x \right)}}{2} d x}$$$。
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x \ln{\left(x \right)}$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{x \ln{\left(x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{x \ln{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$
對於積分 $$$\int{x \ln{\left(x \right)} d x}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。
令 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=x dx$$$。
則 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{x d x}=\frac{x^{2}}{2}$$$（步驟見 »）。
所以，
$$\frac{{\color{red}{\int{x \ln{\left(x \right)} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \int{\frac{x}{2} d x}\right)}}}{2}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x$$$：
$$\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{x}{2} d x}}}}{2} = \frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{x d x}}{2}\right)}}}{2}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=1$$$：
$$\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{x d x}}}}{4}=\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{4}=\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{4}$$
因此，
$$\int{\frac{x \ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{2}}{8}$$
化簡：
$$\int{\frac{x \ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x^{2} \left(2 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{8}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{x \ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x^{2} \left(2 \ln{\left(x \right)} - 1\right)}{8}+C$$
答案
$$$\int \frac{x \ln\left(x\right)}{2}\, dx = \frac{x^{2} \left(2 \ln\left(x\right) - 1\right)}{8} + C$$$A