$$$\frac{t^{3} - 1}{t}$$$ 的積分
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求$$$\int \frac{t^{3} - 1}{t}\, dt$$$。
解答
Expand the expression:
$${\color{red}{\int{\frac{t^{3} - 1}{t} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(t^{2} - \frac{1}{t}\right)d t}}}$$
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(t^{2} - \frac{1}{t}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{t} d t} + \int{t^{2} d t}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$- \int{\frac{1}{t} d t} + {\color{red}{\int{t^{2} d t}}}=- \int{\frac{1}{t} d t} + {\color{red}{\frac{t^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \int{\frac{1}{t} d t} + {\color{red}{\left(\frac{t^{3}}{3}\right)}}$$
$$$\frac{1}{t}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{t} d t} = \ln{\left(\left|{t}\right| \right)}$$$：
$$\frac{t^{3}}{3} - {\color{red}{\int{\frac{1}{t} d t}}} = \frac{t^{3}}{3} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{t}\right| \right)}}}$$
因此，
$$\int{\frac{t^{3} - 1}{t} d t} = \frac{t^{3}}{3} - \ln{\left(\left|{t}\right| \right)}$$
加上積分常數：
$$\int{\frac{t^{3} - 1}{t} d t} = \frac{t^{3}}{3} - \ln{\left(\left|{t}\right| \right)}+C$$
答案
$$$\int \frac{t^{3} - 1}{t}\, dt = \left(\frac{t^{3}}{3} - \ln\left(\left|{t}\right|\right)\right) + C$$$A