$$$\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6$$$ 對 $$$x$$$ 的積分
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求$$$\int \left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{6 d x} - \int{13 x^{2} d x} + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x}\right)}}$$
配合 $$$c=6$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：
$$- \int{13 x^{2} d x} + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - {\color{red}{\int{6 d x}}} = - \int{13 x^{2} d x} + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - {\color{red}{\left(6 x\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=13$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$：
$$- 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - {\color{red}{\int{13 x^{2} d x}}} = - 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - {\color{red}{\left(13 \int{x^{2} d x}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：
$$- 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - 13 {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - 13 {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 6 x + \int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x} - 13 {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{7 d}{f}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$：
$$- \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x + {\color{red}{\int{\frac{7 d x^{3}}{f} d x}}} = - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x + {\color{red}{\left(\frac{7 d \int{x^{3} d x}}{f}\right)}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=3$$$：
$$\frac{7 d {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}}{f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x=\frac{7 d {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}}{f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x=\frac{7 d {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}}{f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x$$
因此，
$$\int{\left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)d x} = \frac{7 d x^{4}}{4 f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x$$
加上積分常數：
$$\int{\left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)d x} = \frac{7 d x^{4}}{4 f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x+C$$
答案
$$$\int \left(\frac{7 d x^{3}}{f} - 13 x^{2} - 6\right)\, dx = \left(\frac{7 d x^{4}}{4 f} - \frac{13 x^{3}}{3} - 6 x\right) + C$$$A