$$$\frac{\pi}{2 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{\pi}{2 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\frac{\pi}{2}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\pi}{2 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\pi \int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} d x}}{2}\right)}}$$

令 $$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$。

被積函數變為

$$$\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1} \cosh^{2}{\left( u \right)}}$$$

使用恆等式 $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1} \cosh^{2}{\left( u \right)}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}} \cosh^{2}{\left( u \right)}}$$$

假設 $$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}} \cosh^{2}{\left( u \right)}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)} \cosh^{2}{\left( u \right)}}$$$

因此，

$$\frac{\pi {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} d x}}}}{2} = \frac{\pi {\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{2}$$

用雙曲正割表示被積分函數:

$$\frac{\pi {\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{2} = \frac{\pi {\color{red}{\int{\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

$$$\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)}$$$ 的積分是 $$$\int{\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} d u} = \tanh{\left(u \right)}$$$：

$$\frac{\pi {\color{red}{\int{\operatorname{sech}^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{\pi {\color{red}{\tanh{\left(u \right)}}}}{2}$$

回顧一下 $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$：

$$\frac{\pi \tanh{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\pi \tanh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}} \right)}}{2}$$

因此，

$$\int{\frac{\pi}{2 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \frac{\pi \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}{2 x}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{\pi}{2 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = \frac{\pi \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}{2 x}+C$$

$$$\int \frac{\pi}{2 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = \frac{\pi \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}}{2 x} + C$$$A