法線計算器

計算$$$y = x^{2} + 1$$$在$$$x = 2$$$處的法線。

已知 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$$ 與 $$$x_{0} = 2$$$。

求函數在給定點的值：$$$y_{0} = f{\left(2 \right)} = 5$$$。

在 $$$x = x_{0}$$$ 處的法線的斜率等於函數導數在 $$$x = x_{0}$$$ 處的值的負倒數：$$$M{\left(x_{0} \right)} = - \frac{1}{f^{\prime }\left(x_{0}\right)}$$$。

求導數：$$$f^{\prime }\left(x\right) = \left(x^{2} + 1\right)^{\prime } = 2 x$$$（步驟請參見導數計算器）。

因此，$$$M{\left(x_{0} \right)} = - \frac{1}{f^{\prime }\left(x_{0}\right)} = - \frac{1}{2 x_{0}}$$$。

接下來，求在給定點處的斜率。

$$$m = M{\left(2 \right)} = - \frac{1}{4}$$$

最後，法線的方程為 $$$y - y_{0} = m \left(x - x_{0}\right)$$$。

將求得的值代入，可得 $$$y - 5 = - \frac{x - 2}{4}$$$。

或者，更簡單地說: $$$y = \frac{11}{2} - \frac{x}{4}$$$.

法線的方程為 $$$y = \frac{11}{2} - \frac{x}{4} = 5.5 - 0.25 x$$$A。