$$$\left[\begin{array}{cccc}- \sqrt{6} & 0 & 1 & 0\\0 & - \sqrt{6} & 1 & 0\\1 & 1 & - \sqrt{6} & 2\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$ 的行最简形

求$$$\left[\begin{array}{cccc}- \sqrt{6} & 0 & 1 & 0\\0 & - \sqrt{6} & 1 & 0\\1 & 1 & - \sqrt{6} & 2\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$的最简行阶梯形。

将第$$$1$$$行除以$$$- \sqrt{6}$$$：$$$R_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{6} R_{1}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & - \sqrt{6} & 1 & 0\\1 & 1 & - \sqrt{6} & 2\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$

第$$$3$$$行减去第$$$1$$$行：$$$R_{3} = R_{3} - R_{1}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & - \sqrt{6} & 1 & 0\\0 & 1 & - \frac{5 \sqrt{6}}{6} & 2\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$

将第$$$2$$$行除以$$$- \sqrt{6}$$$：$$$R_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{6} R_{2}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & 1 & - \frac{5 \sqrt{6}}{6} & 2\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$

第$$$3$$$行减去第$$$2$$$行：$$$R_{3} = R_{3} - R_{2}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & 0 & - \frac{2 \sqrt{6}}{3} & 2\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$

将第$$$3$$$行乘以$$$- \frac{\sqrt{6}}{4}$$$: $$$R_{3} = - \frac{\sqrt{6}}{4} R_{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$

将第$$$3$$$行的$$$\frac{\sqrt{6}}{6}$$$倍加到第$$$1$$$行: $$$R_{1} = R_{1} + \frac{\sqrt{6}}{6} R_{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{6} & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$

将第$$$3$$$行的$$$\frac{\sqrt{6}}{6}$$$倍加到第$$$2$$$行: $$$R_{2} = R_{2} + \frac{\sqrt{6}}{6} R_{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & 0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\0 & 0 & 2 & - \sqrt{6}\end{array}\right]$$$

从第$$$4$$$行中减去第$$$3$$$行的$$$2$$$倍：$$$R_{4} = R_{4} - 2 R_{3}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & 0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$

由于第$$$4$$$行第$$$4$$$列的元素（主元）等于$$$0$$$，我们需要交换行。

在第 $$$4$$$ 列中，找到主元下方的第一个非零元。

正如所见，没有此类条目。

最简行阶梯形为 $$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & 0 & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -0.5\\0 & 1 & 0 & -0.5\\0 & 0 & 1 & -1.224744871391589\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$A。