$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$ 的特征值和特征向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$的特征值和特征向量。

首先，通过将给定矩阵 $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right]$$$ 的对角元素减去$$$\lambda$$$ 来构造一个新矩阵。

所得矩阵的行列式为 $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right)$$$（步骤参见行列式计算器）。

解方程$$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right) = 0$$$。

根为$$$\lambda_{1} = 2$$$, $$$\lambda_{2} = -1$$$（步骤见方程求解器）。

这些是特征值。

接下来，求特征向量。

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 1 - i\\1 + i & -2\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

• $$$\lambda = -1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

特征值：$$$2$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]$$$A。

特征值：$$$-1$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A。