$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$ 的零空间

求$$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$的零空间。

该矩阵的行最简形为 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$（步骤请参见 rref calculator）。

要找到零空间，求解矩阵方程 $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]$$$。

如果取$$$x_{2} = t$$$，则$$$x_{1} = t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$$。

因此，$$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] t$$$。

这是零空间。

矩阵的零度是其零空间的维数。

因此，矩阵的零度为 $$$1$$$。

零空间的基为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\} = \left\{\left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]\right\}$$$A。

矩阵的零度为$$$1$$$A。