$$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$ 的特征值和特征向量

求$$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$的特征值和特征向量。

首先，通过将给定矩阵 $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$ 的对角元素减去$$$\lambda$$$ 来构造一个新矩阵。

所得矩阵的行列式为 $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25}$$$（步骤参见行列式计算器）。

解方程$$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25} = 0$$$。

根为$$$\lambda_{1} = \frac{6}{5}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{4}{5}$$$（步骤见方程求解器）。

这些是特征值。

接下来，求特征向量。

• $$$\lambda = \frac{6}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

• $$$\lambda = \frac{4}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  该矩阵的零空间为 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (步骤详见 零空间计算器).

  这是特征向量。

特征值：$$$\frac{6}{5} = 1.2$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A。

特征值：$$$\frac{4}{5} = 0.8$$$A，重数：$$$1$$$A，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A。