对角化 $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$

将$$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$对角化。

首先，求特征值和特征向量（步骤参见特征值与特征向量计算器）。

特征值：$$$1$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$。

特征值：$$$-2$$$，特征向量：$$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$。

构造矩阵$$$P$$$，其第$$$i$$$列为第$$$i$$$个特征向量：$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$。

构造对角矩阵$$$D$$$，其中在第$$$i$$$行第$$$i$$$列的元素为第$$$i$$$个特征值：$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$。

矩阵$$$P$$$和$$$D$$$使得初始的矩阵等式$$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$成立。

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$（步骤详见逆矩阵计算器）。

$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$A