拉格朗日乘数法：在约束 $$$x = 0$$$ 下求 $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ 的极大值和极小值

在约束条件 $$$x = 0$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ 的最大值和最小值。

注意！ 本计算器不会检查应用拉格朗日乘数法的条件。使用风险自负：答案可能不正确。

构造拉格朗日函数：$$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = x y + \lambda x$$$。

求所有一阶偏导数：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y + \lambda x\right) = \lambda + y$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} \lambda + y = 0 \\ x = 0 \\ x = 0 \end{cases}$$$。

该方程组有如下实数解：$$$\left(x, y\right) = \left(0, - \lambda\right)$$$。

$$$f{\left(0,- \lambda \right)} = 0$$$

由于我们只找到一个值，你还需要检查它是最大值还是最小值。为此，取另一个满足约束条件的点，计算函数在该点的取值。若该新点处的函数值小于原先点处的函数值，则原先的点是最大值；相反，若新点处的函数值更大，则原先的点是最小值。

无法找到最大值和最小值。