拉格朗日乘数法：在约束 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ 下求 $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ 的极大值和极小值

在约束条件 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ 的最大值和最小值。

注意！ 本计算器不会检查应用拉格朗日乘数法的条件。使用风险自负：答案可能不正确。

将约束条件 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ 改写为 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$。

构造拉格朗日函数：$$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$。

求所有一阶偏导数：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}$$$。

该方程组有以下实数解：$$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$。

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

由于我们只找到一个值，你还需要检查它是最大值还是最小值。为此，取另一个满足约束条件的点，计算函数在该点的取值。若该新点处的函数值小于原先点处的函数值，则原先的点是最大值；相反，若新点处的函数值更大，则原先的点是最小值。

无法找到最大值和最小值。