拉格朗日乘数法：在约束 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 下求 $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ 的极大值和极小值

在约束条件 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ 的最大值和最小值。

注意！ 本计算器不会检查应用拉格朗日乘数法的条件。使用风险自负：答案可能不正确。

将约束条件 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ 改写为 $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$。

构造拉格朗日函数：$$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$。

求所有一阶偏导数：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}$$$。

该方程组有以下实数解：$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$。

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

因此，最小值为 $$$9$$$，最大值为 $$$\frac{729}{4}$$$。

最大值

$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A在$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A处。

最小值

$$$9$$$A在$$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A处。