拉格朗日乘数法：在约束 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ 下求 $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ 的极大值和极小值

在约束条件 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ 下，求 $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ 的最大值和最小值。

注意！ 本计算器不会检查应用拉格朗日乘数法的条件。使用风险自负：答案可能不正确。

将约束条件 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ 改写为 $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$。

构造拉格朗日函数：$$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$。

求所有一阶偏导数：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}$$$。

该方程组有如下实数解：$$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$。

$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$

取点$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$。

由于$$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$大于$$$64$$$，可知$$$64$$$为最小值。

最大值

无最大值。

最小值

$$$64$$$A在$$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A处。