曲率计算器

求$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle$$$的曲率。

求$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$的导数：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle$$$（步骤参见derivative calculator）。

求$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$的模长：$$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10}$$$（步骤见模长计算器）。

求$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$的导数：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$（步骤参见derivative calculator）。

求叉积：$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle$$$（步骤详见叉积计算器）。

求$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$的模长：$$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10}$$$（步骤见模长计算器）。

最后，曲率为$$$\kappa\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$$。

曲率为 $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A。