$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$ 的临界点、极值和鞍点

求并分类$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$的临界点。

第一步是求出所有一阶偏导数：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$。

该方程组有如下实数解：$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$。

现在，让我们尝试对其进行分类。

求所有二阶偏导数：

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

定义表达式 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}$$$。

由于$$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$小于$$$0$$$，可以判定$$$\left(0, 0\right)$$$为鞍点。

相对极大值

无相对极大值。

相对极小值

无相对极小值。

鞍点

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A