函数的辛普森规则计算器

使用辛普森(抛物线)1/3 规则逼近定积分的在线计算器,其中显示了步骤。

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您的输入

使用辛普森法则$$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx$$$$$$n = 4$$$的积分。

解决方案

辛普森的 1/3 法则(也称为抛物线法则)使用抛物线来近似面积:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{3} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 4 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 4 f{\left(x_{3} \right)} + 2 f{\left(x_{4} \right)}+\dots+4 f{\left(x_{n-3} \right)} + 2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 4 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

哪里$$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$

我们有$$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}$$$, $$$a = 0$$$$$$b = 1$$$$$$n = 4$$$

因此, $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{4} = \frac{1}{4}$$$

使用以下端点将区间$$$\left[0, 1\right]$$$划分为长度为$$$\Delta x = \frac{1}{4}$$$ $$$n = 4$$$ $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{4}$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$\frac{3}{4}$$$, $$$1 = b$$$

现在,只需在这些端点评估函数。

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\approx 0.52275795857471$$$

$$$4 f{\left(x_{1} \right)} = 4 f{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7169^{\frac{2}{3}}}{7169}\approx 2.09093460413808$$$

$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt[3]{15} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{15}\approx 1.043964704311697$$$

$$$4 f{\left(x_{3} \right)} = 4 f{\left(\frac{3}{4} \right)} = \frac{32 \sqrt[3]{2} \cdot 7411^{\frac{2}{3}}}{7411}\approx 2.067923042238355$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(1 \right)} = \frac{1}{2} = 0.5$$$

最后,只需将上述值相加并乘以$$$\frac{\Delta x}{3} = \frac{1}{12}$$$$$$\frac{1}{12} \left(0.52275795857471 + 2.09093460413808 + 1.043964704311697 + 2.067923042238355 + 0.5\right) = 0.518798359105237$$$

回答

$$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5} + 7}}\, dx\approx 0.518798359105237$$$A