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将 $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ 转换为直角坐标形式
您的输入
将 $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ 转换为直角坐标。
解答
应用公式$$$\cos{\left(3 \alpha \right)} = \cos^{3}{\left(\alpha \right)} - 3 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}$$$，令$$$\alpha = \theta$$$：$$$16 r = - 3 \sin^{2}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} + \cos^{3}{\left(\theta \right)}$$$。
由$$$x = r \cos{\left(\theta \right)}$$$和$$$y = r \sin{\left(\theta \right)}$$$可得$$$\cos{\left(\theta \right)} = \frac{x}{r}$$$、$$$\sin{\left(\theta \right)} = \frac{y}{r}$$$、$$$\tan{\left(\theta \right)} = \frac{y}{x}$$$和$$$\cot{\left(\theta \right)} = \frac{x}{y}$$$。
输入变为$$$16 r = \frac{x^{3}}{r^{3}} - \frac{3 x y^{2}}{r^{3}}$$$。
化简：输入现在呈 $$$16 r^{4} - x^{3} + 3 x y^{2} = 0$$$ 的形式。
在直角坐标系中，$$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$$ 和 $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}$$$。
因此，输入可以改写为$$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$。
答案
$$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$A 在直角坐标系中为 $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$A。