$$$- 2 x y + x$$$ 关于$$$x$$$的积分
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求$$$\int \left(- 2 x y + x\right)\, dx$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(- 2 x y + x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} - \int{2 x y d x}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：
$$- \int{2 x y d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- \int{2 x y d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{2 x y d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
对 $$$c=2 y$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：
$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{2 x y d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(2 y \int{x d x}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：
$$\frac{x^{2}}{2} - 2 y {\color{red}{\int{x d x}}}=\frac{x^{2}}{2} - 2 y {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{x^{2}}{2} - 2 y {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(- 2 x y + x\right)d x} = - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2}$$
化简：
$$\int{\left(- 2 x y + x\right)d x} = x^{2} \left(\frac{1}{2} - y\right)$$
加上积分常数：
$$\int{\left(- 2 x y + x\right)d x} = x^{2} \left(\frac{1}{2} - y\right)+C$$
答案
$$$\int \left(- 2 x y + x\right)\, dx = x^{2} \left(\frac{1}{2} - y\right) + C$$$A