$$$x^{7} e^{- x^{8}}$$$ 的积分

求$$$\int x^{7} e^{- x^{8}}\, dx$$$。

设$$$u=- x^{8}$$$。

则$$$du=\left(- x^{8}\right)^{\prime }dx = - 8 x^{7} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x^{7} dx = - \frac{du}{8}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{8}\right)d u}}}$$

对 $$$c=- \frac{1}{8}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{8}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{8}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{8} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{8}$$

回忆一下 $$$u=- x^{8}$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{8} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x^{8}\right)}}}}{8}$$

因此，

$$\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x} = - \frac{e^{- x^{8}}}{8}$$

加上积分常数：

$$\int{x^{7} e^{- x^{8}} d x} = - \frac{e^{- x^{8}}}{8}+C$$

$$$\int x^{7} e^{- x^{8}}\, dx = - \frac{e^{- x^{8}}}{8} + C$$$A