$$$x^{2} e^{- \frac{x}{2}}$$$ 的积分

求$$$\int x^{2} e^{- \frac{x}{2}}\, dx$$$。

对于积分$$$\int{x^{2} e^{- \frac{x}{2}} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x^{2}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{x}{2}} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}=- 2 e^{- \frac{x}{2}}$$$ (步骤见 »)。

因此，

$${\color{red}{\int{x^{2} e^{- \frac{x}{2}} d x}}}={\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)-\int{\left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}={\color{red}{\left(- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - \int{\left(- 4 x e^{- \frac{x}{2}}\right)d x}\right)}}$$

对 $$$c=-4$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- \frac{x}{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - {\color{red}{\int{\left(- 4 x e^{- \frac{x}{2}}\right)d x}}} = - 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - {\color{red}{\left(- 4 \int{x e^{- \frac{x}{2}} d x}\right)}}$$

对于积分$$$\int{x e^{- \frac{x}{2}} d x}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=x$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=e^{- \frac{x}{2}} dx$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}=- 2 e^{- \frac{x}{2}}$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$$- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} + 4 {\color{red}{\int{x e^{- \frac{x}{2}} d x}}}=- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} + 4 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)-\int{\left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} + 4 {\color{red}{\left(- 2 x e^{- \frac{x}{2}} - \int{\left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)d x}\right)}}$$

对 $$$c=-2$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$$- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 4 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)d x}}} = - 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 4 {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{- \frac{x}{2}} d x}\right)}}$$

设$$$u=- \frac{x}{2}$$$。

则$$$du=\left(- \frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = - \frac{dx}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - 2 du$$$。

所以，

$$- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} + 8 {\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{2}} d x}}} = - 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} + 8 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} + 8 {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = - 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} + 8 {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 16 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 16 {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- \frac{x}{2}$$$:

$$- 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 16 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 16 e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{x^{2} e^{- \frac{x}{2}} d x} = - 2 x^{2} e^{- \frac{x}{2}} - 8 x e^{- \frac{x}{2}} - 16 e^{- \frac{x}{2}}$$

化简：

$$\int{x^{2} e^{- \frac{x}{2}} d x} = 2 \left(- x^{2} - 4 x - 8\right) e^{- \frac{x}{2}}$$

加上积分常数：

$$\int{x^{2} e^{- \frac{x}{2}} d x} = 2 \left(- x^{2} - 4 x - 8\right) e^{- \frac{x}{2}}+C$$

$$$\int x^{2} e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 2 \left(- x^{2} - 4 x - 8\right) e^{- \frac{x}{2}} + C$$$A