$$$x e^{- x^{2}}$$$ 的积分

求$$$\int x e^{- x^{2}}\, dx$$$。

设$$$u=- x^{2}$$$。

则$$$du=\left(- x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (步骤见»)，并有$$$x dx = - \frac{du}{2}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{x e^{- x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

对 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{2}$$

回忆一下 $$$u=- x^{2}$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{2} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x^{2}\right)}}}}{2}$$

因此，

$$\int{x e^{- x^{2}} d x} = - \frac{e^{- x^{2}}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{x e^{- x^{2}} d x} = - \frac{e^{- x^{2}}}{2}+C$$

$$$\int x e^{- x^{2}}\, dx = - \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C$$$A