$$$x \left(1 - x\right)^{n}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int x \left(1 - x\right)^{n}\, dx$$$。

该积分没有闭式表达式：

$${\color{red}{\int{x \left(1 - x\right)^{n} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{x^{2} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 2, - n \\ 3 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{2}\right)}}$$

因此，

$$\int{x \left(1 - x\right)^{n} d x} = \frac{x^{2} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 2, - n \\ 3 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{2}$$

加上积分常数：

$$\int{x \left(1 - x\right)^{n} d x} = \frac{x^{2} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 2, - n \\ 3 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{2}+C$$

$$$\int x \left(1 - x\right)^{n}\, dx = \frac{x^{2} {{}_{2}F_{1}\left(\begin{matrix} 2, - n \\ 3 \end{matrix}\middle| {x} \right)}}{2} + C$$$A