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$$$\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}}$$$ 的积分
您的输入
求$$$\int \left(\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}}\right)\, dy$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}}\right)d y}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{2 \sqrt{y}} d y} + \int{\frac{\sqrt{y}}{2} d y}\right)}}$$
对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(y \right)} = \sqrt{y}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$：
$$\int{\frac{1}{2 \sqrt{y}} d y} + {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{y}}{2} d y}}} = \int{\frac{1}{2 \sqrt{y}} d y} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\sqrt{y} d y}}{2}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=\frac{1}{2}$$$：
$$\int{\frac{1}{2 \sqrt{y}} d y} + \frac{{\color{red}{\int{\sqrt{y} d y}}}}{2}=\int{\frac{1}{2 \sqrt{y}} d y} + \frac{{\color{red}{\int{y^{\frac{1}{2}} d y}}}}{2}=\int{\frac{1}{2 \sqrt{y}} d y} + \frac{{\color{red}{\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{2}=\int{\frac{1}{2 \sqrt{y}} d y} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{2}$$
对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(y \right)} = \frac{1}{\sqrt{y}}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$：
$$\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3} + {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{y}} d y}}} = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{3} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sqrt{y}} d y}}{2}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=- \frac{1}{2}$$$：
$$\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{y}} d y}}}}{2}=\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{y^{- \frac{1}{2}} d y}}}}{2}=\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{\color{red}{\frac{y^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{2}=\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{\color{red}{\left(2 y^{\frac{1}{2}}\right)}}}{2}=\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{\color{red}{\left(2 \sqrt{y}\right)}}}{2}$$
因此，
$$\int{\left(\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}}\right)d y} = \frac{y^{\frac{3}{2}}}{3} + \sqrt{y}$$
化简：
$$\int{\left(\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}}\right)d y} = \frac{\sqrt{y} \left(y + 3\right)}{3}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}}\right)d y} = \frac{\sqrt{y} \left(y + 3\right)}{3}+C$$
答案
$$$\int \left(\frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}}\right)\, dy = \frac{\sqrt{y} \left(y + 3\right)}{3} + C$$$A