$$$\frac{\sin{\left(t^{2} \right)}}{t}$$$ 的积分
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求$$$\int \frac{\sin{\left(t^{2} \right)}}{t}\, dt$$$。
解答
设$$$u=t^{2}$$$。
则$$$du=\left(t^{2}\right)^{\prime }dt = 2 t dt$$$ (步骤见»)，并有$$$t dt = \frac{du}{2}$$$。
该积分可以改写为
$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(t^{2} \right)}}{t} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u} d u}}}$$
对 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：
$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}{2}\right)}}$$
该积分（正弦积分）没有闭式表达式：
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}}{2}$$
回忆一下 $$$u=t^{2}$$$:
$$\frac{\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{Si}{\left({\color{red}{t^{2}}} \right)}}{2}$$
因此，
$$\int{\frac{\sin{\left(t^{2} \right)}}{t} d t} = \frac{\operatorname{Si}{\left(t^{2} \right)}}{2}$$
加上积分常数：
$$\int{\frac{\sin{\left(t^{2} \right)}}{t} d t} = \frac{\operatorname{Si}{\left(t^{2} \right)}}{2}+C$$
答案
$$$\int \frac{\sin{\left(t^{2} \right)}}{t}\, dt = \frac{\operatorname{Si}{\left(t^{2} \right)}}{2} + C$$$A