$$$\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx$$$。

设$$$u=\sqrt{x}$$$。

则$$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (步骤见»)，并有$$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$。

该积分可以改写为

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sin{\left(u \right)} d u}}}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{2 \sin{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

正弦函数的积分为 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

回忆一下 $$$u=\sqrt{x}$$$:

$$- 2 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 2 \cos{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

因此，

$$\int{\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x} = - 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}} d x} = - 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = - 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)} + C$$$A