$$$\ln\left(n\right)$$$ 的积分

求$$$\int \ln\left(n\right)\, dn$$$。

对于积分$$$\int{\ln{\left(n \right)} d n}$$$，使用分部积分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

设 $$$\operatorname{u}=\ln{\left(n \right)}$$$ 和 $$$\operatorname{dv}=dn$$$。

则 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(n \right)}\right)^{\prime }dn=\frac{dn}{n}$$$ (步骤见 »)，并且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d n}=n$$$ (步骤见 »)。

积分变为

$${\color{red}{\int{\ln{\left(n \right)} d n}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(n \right)} \cdot n-\int{n \cdot \frac{1}{n} d n}\right)}}={\color{red}{\left(n \ln{\left(n \right)} - \int{1 d n}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dn = c n$$$，使用 $$$c=1$$$：

$$n \ln{\left(n \right)} - {\color{red}{\int{1 d n}}} = n \ln{\left(n \right)} - {\color{red}{n}}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \ln{\left(n \right)} - n$$

化简：

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \left(\ln{\left(n \right)} - 1\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\ln{\left(n \right)} d n} = n \left(\ln{\left(n \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(n\right)\, dn = n \left(\ln\left(n\right) - 1\right) + C$$$A