$$$e^{\frac{u}{2}}$$$ 的积分

求$$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du$$$。

设$$$v=\frac{u}{2}$$$。

则$$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (步骤见»)，并有$$$du = 2 dv$$$。

积分变为

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$

对 $$$c=2$$$ 和 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$：

$${\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$$2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = 2 {\color{red}{e^{v}}}$$

回忆一下 $$$v=\frac{u}{2}$$$:

$$2 e^{{\color{red}{v}}} = 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{\frac{u}{2}} d u} = 2 e^{\frac{u}{2}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} + C$$$A